1，图论例题
《离散数学》补充练习题（2011.05.30）
1、将下列命题符号化。
（1）小李边读书边听音乐。
（2）现在没下雨，可也没出太阳，是阴天。
2、证明等价关系： 。
3、概述求解主合取范式的主要方法和步骤，并求公式 的主合取范式。
4、将下列论证用命题符号表示，然后求证逻辑推论是否成立。
如果天热则蝉鸣叫，如果蝉鸣叫则小王不睡觉，小王游泳或睡觉，所以如果天热则小王游泳。
5、将下列语句用谓词公式表示。
（1）不劳动者不得食。
（2）每个人的祖父都是他父亲的父亲。
6、给定集合 ， 均是 上的二元关系， ， 。
（1）画出 的关系图；
（2）写出 的关系矩阵；
（3）写出 所具有的性质；
（4）求 。
7、设 是集合 上的二元关系。证明 。
8、简述传递闭包的定义，并求 上关系 的传递闭包。
9、列出色数 为的三个图： 。
10、 阶完全图的色数为： 。
11、 阶树的色多项式为： 。
12、 阶完全图的色接多项式为： 。
13、如下图所示的图的邻接矩阵为 ，关联矩阵为 。
14、设 阶图的各顶点的度分别为 ，则称 为该图的度序列。度序列为 的简单图是 。
15、是否存在度序列为 ， 的简单图？若存在，给出一个图；若不存在，请说明理由。
16、画出如下图的所有生成子图。
17、设图 如下图所示，求该图的生成树个数 。
18、已知图G（V、E），画出G－V5，G－v3v4，G[{v2，v3，v5}]，G[{v3v4，v4，v6，v7v8}]
G：
19、已知图G的邻接矩阵 ，画出G，并求出度序列。
20、证明：偶图G的任意子图H仍为偶图。
21、证明：设图G（V、E）的度序列为（ ），边数为q，则
22、证明：整数序列（6，6，5，4，3，3，1）不可能为一个简单图的图序列。
23、证明顶点度数均为 的简单连通图是圈。
23、若图G是 不连通的，则其补图GC是连通的。
24、证明：设 是由 和 两个连通分支组成的图，则其色多项式 。
25、证明：设 是由 和 两个连通分支组成的图，则其色数 。
26、设图G（V、E）且|V|＝p，|E|＝q，则G为树当且仅当G为连通的且p＝q＋1。
27、证明：图G为树当且仅当G的任意两个不同顶点之间存在唯一的一条路。
28、画出全部非同构的6阶树。
29、利用Cayley公式计算图G的生成树数目（写出演算过程）。
G：
30、下列图是否为Enler图？
G1： G2：
31、证明：设 为 条边的 阶连通简单图且 ，则 包含圈。
32、证明：非平凡树的最长路的起点和终点均为悬挂点。
33、证明：恰好有两个悬挂点的树是一条路。
34、证明：图G为非平面图。
G：
35、给出下图G的一个最大匹配（最大对集）。
G：
36、设图G有完美匹配，则G为偶数阶图。
37、证明：路至多有一个完美匹配。
38、写出p（≥1）阶树T的色多项式，并确定T的色数。
39、写出5个阶轮图W5的色多项式，并求χ（w5）
W5：
40、设G为任一偶图，则χ（G）≤2。
41、证明：非平凡连通偶图 的色数为 。
42、证明圈 的色数为 或 。
43、证明：设 为具有 条边的 阶极大平面图，则 。
44.证明：在空间中，不可能有这样的多面体存在，它们有奇数个面，而它们的每个面又都有奇数条边。
证明：假设存在这样的多面体，将这多面体的面用顶点表示，当且仅当两个面有公共棱时，在相应的顶点间连一边，得图G。按题意，G有奇数个奇顶点。显然，这样的图不存在，故这样的多面体是不存在的。
45. A wolf, a goat and a cabbage are on one bank of a river. A ferryman wants to take them across, but since his boat is small, he can take only one of them at a time. For obvious reasons, neither the wolf and the goat nor the goat and the cabbage can be left unguarded. How is the ferryman going to get them across the river?
在一河岸有狼、羊和卷心菜，农夫要将它们渡过河去，但由于他的船太小，每次只能载一样葡萄东西，并且，狼和羊，羊和卷心菜都不能在无人照看的情况下留在一起。问农夫有无办法将它们渡过河去？若有，给出其实施办法。
解：人、狼、羊、菜四种东西的任意组合，共有24=16种情况，其中狼羊菜、羊菜、狼羊三种情况不允许，因而这三种情况的余：人、人狼、人菜三种情况也不会出现。这样，岸上只能有如下10种情况：
人狼羊菜、 人狼羊、 人狼菜、 人羊菜、 人羊、
空、 菜、 羊、 狼、 狼菜。
将这10种状态各用一个点表示，且两种状态的两个点有边相连当且仅当该两种状态可用载人（或加一物）的渡船互相转换。于是可得下图：
我们的问题就转化为求一条从“人狼羊菜”到“空”的路。从而可求得渡河办法.
2，求证一道图论题
这个是图论中的Ramsey定理，题目的描述稍有问题，应该加上G是非零图的条件
1) 先证G是正则图
对于n个点，按照它们的度数从大到小排序，然后编号为v1、v2...vn，即满足d(v1)>=d(v2)>=...>=d(vn)
以下反证证明。如果G不是正则图，那就有d(v1)>d(vn)
对于V-{v1, vn}中的n-2个点，按照与v1、vn相连或者不相连，可以划分到以下4个集合中：
A：只与v1相连
B：与v1、vn都相连
C: 只与vn相连
D：与v1、vn都不相连
因为d(v1)>d(vn)，所以|A|>|C|
按照如下方法从V-{v1, vn}中挑选出k-1个点：
a) 优先从A中挑选
b) 如果从A中挑选不满，那么再从B∪D中挑选
c) 如果以上还挑选不满，最后从C中挑选
假设最后挑选出来的k-1个点落在A、B、C、D的子集分别为A'、B'、C'、D'，根据以上方法，显然有|A'|>|C'|
考察以下两个k子集：
V1={v1}∪A'∪B'∪C'∪D'
V2={vn}∪A'∪B'∪C'∪D'
e(G[V1])-e(G[V2])=|A'|-|C'|>0，这与条件任意k个点的导出子图的边数相等相矛盾
因此d(v1)=d(vn)，即G是正则图
2) 再证明对于任意的两个点，比如v1，vn，有|A|=|C|=0
1)的证明可以得到|A|=|C|
仍然通过反证证明。如果|A|=|C|>0，注意还有个条件：k-1|C'|，导致e(G[V1])>e(G[V2])，与条件任意k个点的导出子图的边数相等相矛盾
所以|A|=|C|=0
3) 最后证G是完全图
还是通过反证证明。如果d(v1)<n-1，即存在v2，v2与v1不相连
又d(v1)=d(v2)>0，所以存在v3，使得v3与v1相连但v3不与v2相连
这样v3就落在v1、v2的A集合里面，因此|A|>0，这与2)的结论相矛盾
所以d(v1)=n-1，即G是完全图
精华总结
雨露，是万物生长的灵丹妙药，它能让万物欣欣向荣，给人带来希望和欢乐。起名，是给孩子取名最重要的一步，因为名字，在某种程度上就是一种文化。一个好的名字，可以让孩子从小拥有一个好的起点。那么，旸字取名呢，有着什么样的寓意及含义？
1、旸是五行金之字，五行属水，寓意孩子聪明机智，有大智慧，富有爱心。
根据五行属性来取名，金能克水，就像是金被水淹没了，所以会出现水变少，阳气不充足的情况。而旸字五行属水，表示有希望的样子，寓意孩子聪明机智，有大智慧，富有爱心，有爱心之义，对人非常友好，人缘非常好。由于在起名时需要注意五行八字，所以名字要避开太多不利因素。例如孩子取名为旸这个名字时，可选择五行属金且与水相冲或水火相济或金水相济等字面寓意相搭。
2、旸字是木之金之字，五行属木，为金之态，寓意孩子金木水火土五行协调，和谐发展。
雨露的滋润，日出而作，日落而息，都让人感到无比满足。旸，字音shèng,寓意着孩子有一颗包容和感恩之心。这与“日出而作、日落而息”有异曲同工之妙……旸给人带来欢乐、吉祥的同时，也寓意着孩子金木水火土协调发展……
3、旸是一种很有灵性的字，可形容孩子生机勃勃，乐观向上。
【旸】有光明、温暖、明朗的意思，可用作名字。【阳凯是太阳之意。【阳阳阳】阳代表明亮，阳代表光明及温暖。用阳代表光明的事物，表示孩子生机勃勃，乐观向上。【阳欣可表示欣欣向荣之意。【阳和】可表示温暖的意思。
4、旸字取名，寓意孩子乐观向上，对生活充满希望。
旸字寓意孩子乐观向上，对生活充满希望，乐观积极的生活态度，有助于提高孩子的自信心。另外旸字取名还有着积极向上、乐观开朗、吉祥幸福、生活美满、幸福美满等美好祝愿，其寓意吉祥。而且旸在中国汉字里是非常多见的一个字，我们可以将这个字用在名字中来表达。旸字取名代表着孩子未来很美好而充满希望。如果将其用于起名中，则代表着孩子未来会有很多希望。同时也象征着孩子将来会有所成就。
5、旸作为名字有吉祥富贵之意。
旸这个名字，在很早的时候就被赋予了吉祥富贵的寓意，因为它在名字中的意思很多。所以有很高的吉祥富贵之意。这个名字将孩子命名为【旸】具有美好的寓意。
